معادلات شحن وتفريغ المكثف

أولا شحن المكثف charging

لنتخيل أن المكثف عبارة عن مخزن فارغ , وسيتم فيه تخزين الشحنات , ففى بادىء الأمر يمكننا أن ندخل كمية كبيرة من الشحنات (التيار الكهربى) دفعة واحدة وذلك نظرا لأن المخزن فارغ وبابه مفتوح على مصراعيه (لايوجد مقاومة).

ولذلك سيكون الجهد المبذول لادخال الشحنة قليل.

بعد فترة زمنية يأخذ المخزن فى الامتلاء, وتبدأ تغلق البوابة (فتزيد المقاومة), ولذلك سيزداد الجهد المبذول لادخال الشحنة.

ولا يمكننا غير ادخال كميات بسيطة من الشحنات (أى يقل التيار الكهربى). وما سبق يسمى مرحلة الانتقال.

حتى يتم غلق البوابة ولايسمح بمرور أى شحنات (وبالتالى سيتوقف مرور التيار). وهذه هى مرحلة الثبات.

والاشكال التالية توضح تلك العملية.

منحنى جهد المكثف اثناء الشحن

وفيه نلاحظ ان المكثف يبدأ عملية الشحن عند جهد يساوى صفر ثم يبدا فى الازدياد مع مرور الزمن  وتسمى هذه المرحلة مرحلة الانتقال transient state ، ثم بعد ذلك يأخذ المنحنى شكل اقرب الى الافقى حيث يصبح جهد الكثف ثابت مع مرور الزمن وتسمى هذه المرحلة مرحلة الاستقرار  steady state.

منحنى تيار المكثف اثناء الشحن

وفيه نلاحظ ان المكثف يبدأ عملية الشحن عند اعلى قيمة للتيار ثم تبدأ هذه القيمة  فى النقصان مع مرور الزمن  وتسمى هذه المرحلة مرحلة الانتقال transient state ، ثم بعد ذلك يأخذ المنحنى شكل اقرب الى الافقى حيث يصبح تيار الكثف ثابت مع مرور الزمن وتساوى صفر وتسمى هذه المرحلة مرحلة الاستقرار  steady state.

والمعادلة التالية نحصل منها على جهد المكثف أثناء عملية الشحن

 ==> (1)

والمعادلة التالية توضح التيار المار فى المكثف أثناء الشحن.

 ==> (2)

والمعادلة التالية خاصة بحساب جهد المقاومة المتصلة بالمكثف وهى ناتجة من ضرب التيار Ic  الناتج من المعادلة السابقة فى قيمة المقاومة.

 ==> (3)

حيث :

Vc : جهد المكثف بالفولت عند فترة زمنية مقدارها t ثانية.

Ic : التيار المار فى المكثف عند الزمن t ثانية.

VR : جهد جهد المقاومة المتصلة بالمكثف بالأوم.

E : جهد البطارية بالفولت.

e : تساوى 2.71828

t  : الزمن المراد معرفة جهد المكثف عنده بالثانية.

R : قيمة المقاومة المتصلة مع المكثف بالأوم.

C : سعة المكثف بالفاراد.

ونلاحظ أن العلاقة بين الجهد والتيار أثناء الشحن علاقة عكسية, حيث نلاحظ أن الجهد يتزايد  بالتدريج وتسمى هذه المرحلة بمرحلة الانتقال transient state , وفيها يزداد الجهد من صفر فولت الى أقصى قيمة له، ثم بعد ذلك يصل الى حالة الاستقرار  steady state , وفيها يتوقف مرور التيار ويصل الجهد بين طرفى المكثف الى أقصى قيمة وعندها يمكن اعتبار المكثف دائرة مفتوحة open circuit , كما بالشكل التالى.    

ويتوقف زمن مرحلة الانتقال على ما يعرف بالثابت الزمنى, ويرمز له بالرمز τ ( تنطق تاو) ووحدتها بالثانية, وتحسب من المعادلة  لتالية

وتتناسب مرحلة الانتقال طرديا مع قيمة الثابت الزمنى, وتكون غالبا ما بين أجزاء من الثانية الى عدة ثوان، والجدول التالى يبين النسبة المئوية التى يصل اليها جهد المكثف ( منسوبا الى جهده النهائى ) أثناء عملية الشحن مقابل ما يمر من زمن مقدرا بعدد الوحدات من الثابت الزمنى.

جدول (1)

النسبة المئوية التى يصل اليها جهد المكثف بالنسبة الى الجهد النهائى أثناء عملية الشحن

عمليا يمكن أن نعتبر أن المكثف قد وصل الى أقصى قيمة للجهد بعد مرور زمن مقداره 5τ وذلك مناسب لمعظم التطبيقات.

أما بالنسبة للتيار فان الجدول التالى يبين النسبة المئوية التى يصل اليها التيار أثناء عملية الشحن مقابل ما يمر من زمن مقدرا بعدد الوحدات من الثابت الزمنى

جدول (2)

النسبة المئوية التى يصل اليها تيار المكثف بالنسبة الى التيار النهائى أثناء عملية الشحن

عمليا يمكن أن نعتبر أن المكثف قد وصل الى أقل قيمة للتيار( صفر أمبير) بعد مرور زمن مقداره 5T وذلك مناسب لمعظم التطبيقات.

ويأخذ منحنى جهد المقاومة R نفس شكل منحنى التيار, الا أنه يزيد فى القيمة نظرا لضربه فى قيمة المقاومة.

مثال

الدائرة التالية  تبين مكثف غير مشحون سعته  C = 10ميكرو فاراد تم شحنه بجهد كهربى E = 9  فولت من البطارية خلال المقاومة R = 10K, أحسب قيمة كلا من الجهد والتيار لكل من المكثف والمقاومة عند زمن مقداره 1 ,100 , 500 ملى ثانية.

يتم التعويض فى المعادلات الثلاثة السابقة فنحصل على النتائج المجودة بالجدول التالى

مثال

باستخدام الجدول السابقة احسب قيمة جهد كلا من المكثف والمقاومة بعد مرور زمن مقداره 3 مرات الثابت الزمنى .

من جدول الأول (1) نجد أن النسبة المئوية عند ثابت الزمنى يساوى 3 هى % 95.021

عند حساب جهد المقاومة نستخدم جدول التيار (2) لأن شكل منحنى التيار هو نفس شكل منحنى المقاومة, ونجد أن النسبة المئوية هى % 4.9787

والثابت الزمنى فى الدائرة السابقة يحسب كالتالى

أى أن النتائج السابقة تم حسابها عند 0.3 ثانية.

نحتاج أحيانا لحساب الزمن الذى يصل فيه جهد المكثف أثناء الشحن الى قيمة معينة, ونستخدم لذلك المعادلة التالية

 ==> (4)

حيث:

t : الزمن بوحدة الثانية.

T: التابت الزمنى.

E : جهد البطارية.

Vc : جهد المكثف.

مثال

فى الدائرة السابقة, كم يمر من الزمن حتى يصل جهد المكثف الى 4.5 فولت؟

بالتعويض فى المعادلة السابقة (4)

مثال

اذا كان جهد البطارية 5 فولت, صمم دائرة كما فى الشكل السابق لجعل  جهد المكثف يصل الى 1 فولت عند مرور 0.5 ثانية.

من المعادلة السابقة

أفترض أن المكثف = 10 ميكرو فاراد

القيم الابتدائية  Initial values

فى الأمثلة السابقة كنا نتعامل مع مكثف غير مشحون ( أى قيمة الشحنة الابتدائية تساوى صفر) ثم نقوم بشحنه كما أوضحنا سابقا, والآن نفترض أن المكثف كان مشحونا بشحنة ابتدائية بحيث أن جهده يزيد على الصفر, ثم قمنا بتوصيله بجهد أعلى ليتم شحنه مرة أخرى ، فى هذه الحالة نستخدم المعادلات التالية

المعادلة التالية تستخدم لحساب جهد المكثف

المعادلة التالية تستخدم لحساب التيار المار فى المكثف

المعادلة التالية تستخدم لحساب جهد المقاومة

حيث:

Vc : جهد المكثف بالفولت عند فترة زمنية مقدارها t ثانية.

Vi  : جهد المكثف الابتدائى قبل عملية الشحن.

Ic : التيار المار فى المكثف عند الزمن t ثانية.

VR : جهد جهد المقاومة المتصلة بالمكثف بالأوم.

E : جهد البطارية بالفولت.

e : تساوى 2.71828

t  : الزمن المراد معرفة جهد المكثف عنده بالثانية.

R : قيمة المقاومة المتصلة مع المكثف بالأوم.

C : سعة المكثف بالفاراد.

ويكون شكل منحنى جهد المكثف كما فى الشكل التالى.

ونلاحظ أن الجهد عند بداية الشحن أى عند الزمن يساوى صفر على المنحنى  لا يساوى صفر بل يزيد بقيمة تساوى قيمة الجهد الابتدائى للمكثف.

أما  بالنسبة لمنحنى التيار و منحنى جهد المقاومة فهما مثل الحالة السابقة حالة عدم وجود شحنة بالمكثف.

و لحساب الزمن الذى يصل فيه جهد المكثف أثناء الشحن الى قيمة معينة, نستخدم المعادلة التالية

حيث:

t : الزمن بوحدة الثانية.

T: التابت الزمنى.

E : جهد البطارية.

Vc : جهد المكثف عند الزمن t .

Vi : جهد المكثف الابتدائى قبل عملية الشحن.

ثانيا تفريغ المكثف discharging 

ذكرنا فيما قبل أنه بعد شحن المكثف فانه يحتفظ بالشحنة لفترة زمنية, فاذا قمنا بتوصيله فى دائرة كالموضحة فى الشكل التالى فانه يعمل عمل البطارية لفترة زمنية تتوقف على الثابت الزمنى , ويقوم بتفريغ شحنته حتى يصل الى صفر فولت.

والمعادلة التالية تستخدم لحساب جهد المكثف أثناء التفريغ عند الزمن t ثانية.

 وجهد المقاومة فى هذه الحالة هو نفسه جهد المكثف.

والمعادلة التالية تستخدم لحساب تيار المكثف أثناء التفريغ عند الزمن t ثانية.

والتيار المار فى المقاومة هو نفسه التيار المار فى المكثف.

والشكل التالى توضح منحنى الجهد والتيار, وفيها نلاحظ أن شكل منحنى الجهد هو نفس شكل منحنى التيار.

وأن العلاقة بينهما علاقة طردية, فعند بداية التفريغ تكون القيمة عظمى , وتقل مع مرور الزمن الى أن تصل الى الصفر.

 عمليا يمكن أن نعتبر أن المكثف قد وصل الى أقل قيمة للجهد والتيار بعد مرور زمن مقداره 5T وذلك مناسب لمعظم التطبيقات.

وباستخدام الجدول السابق يمكن أن نحدد النسبة المئوية التى يصل اليها المكثف سواء للجهد أوالتيار بعد فترة زمنية تساوى مضاعفات الثابت الزمنى.

مثال

فى الدائرة السابقة اذا كان جهد المكثف لحظة توصيله بالدائرة يساوى 5 فولت , والمقاومة تساوى 10 K أوم , احسب قيمة جهد وتيار المقاومة بعد مرور فترة زمنية تساوى مرة واحدة من الثابت الزمنى.

لاحظ أن جهد وتيار المقاومة هما نفس جهد وتيار المكثف.

من الجدول نلاحظ ان النسبة المئوية المقابلة لثابت زمنى مقداره واحد تساوى 36.788% .

ولحساب التيار بعد مرور الثابت الزمنى يجب أن نحسب التيار عند لحظة البدء وهى أعلى قيمة للتيار  

Im