إجابة عن تساؤل: لماذا لايمكننا القسمة على صفر؟

قبل حوالي أسبوع من كتابتي لهذا المقال طرحت تساؤلا بسيطا على مستوى فيسبوك – كنت أعتقد بأنه بسيط – وهو كالآتي : لماذا لايمكننا القسمة على صفر ؟ كانت الإجابة بسيطة ومع المكتسبات القبلية وبعض التفكير يمكن لأي شخص مرى على مرحلة التعليم الثانوي أن يجيب عليها لكن للأسف حصلت على تعليقات بنسبة 10 بالمئة لكن 90 بالمئة منها كانت صحيحة, لاأعلم تحديدا لماذا لايشارك الأشخاص في أشياء علمية مثل هذه وأي حجة ستوضع هنا ستكون منصبة في دائرة الجهل, إذا لم تشارك لأنك لاتعلم فأخبر ولو قليلا حول الأفكار التي تحملها حول الموضوع, وإذا كنت محرجا أو أنك لست معتادا على التعليق لشخص ما لانك لاتعرفه او انه غريب أو أي سبب آخر فللأسف عندما يتعلق الأمر بمشاركة العلوم فهذه الأفكار الإجتماعية متخلفة للغاية بالنظر إلى التطور الذي نعيشه اليوم, هذا خروج عن سؤالنا المطروح لكنه مرتبط بموضوعنا فيمكن لنا أن نتأسف مثلا على مرحلتنا الثانوية وعلى كل الرياضيات التي درسناها وعلى حياتنا إن لم نستطع المشاركة في الأشياء العلمية التي درسناها, من المؤسف أن لانستطيع كتابة إجابة, في الحقيقة علينا أن نتأسف لكثير من الأشياء, ولايجب علينا أن ننتقد الفساد والتخلف لأننا مشاركون فيه.

دعونا من هذا الآن ولنبحث عن إجابة وافية لسؤالنا.

لماذا لايمكننا القسمة على صفر ؟

باختصار السبب الذي يجعل من القسمة على صفرا شيئا غير ممكن هو أننا سنحصل على قيمة غير معروفة, وأي محاولة منا لتعريف هذه القيمة سيكون غير ممكن, حسنا كيف هذا؟

سيكون الأمر واضحا باستعمال التقسيم البدائي, تخيل أن لدينا 10 تفاحات إذا قمنا بتوزيعها على 10 أشخاص فسيكون نصيب كل شخص حبة واحدة, ماذا لو أعطينا 10 حبات لشخص واحد حسنا ستكون القسمة كالآتي : 10/1 حسنا هنا يجب أن تكون القسمة منتهية لدينا 10 حبات وقمنا بتقسيمها على شخص واحد وحصلنا على نتيجة مفادها أن النتيجة ستكون عشرة حبات لذلك الشخص, من المفترض أن القسمة منتهية لكن ماذا إن قسمنا 10 حبات على صفر ماذا ستكون النتيجة؟ يمكن أن يقول بعض الأشخاص بأن هذا الأمر مشابه لعدم تقسيمنا للتفاحات وسنحصل على 10 حبات لكن عندما قسمنا 10 حبات على شخص واحد حصلنا على عشر حبات فكيف إذا عند تقسيمها على صفر سنجد 10 حبات؟ بطريقة أخرى هل تقسيم هذه التفاحات على ثلاث أشخاص هو مشابه لتقسيمها على 5 أشخاص؟ حسنا كيف نقول إذا بأن تقسيم عشر تفاحات على شخص واحد هو نفسه تقسيمها على صفر من الأشخاص؟ إذا يبدو ظاهريا بأن تقسيم 10 حبات على صفر هو مشابه لعدم تقسيمها لكنه ليس كذلك، لاتنسى بأن الصفر عدد في الرياضيات وهنا تكمن المشكلة تحديدا في الرياضيات, فتقسيمنا لعدد على عددين مختلفين لايمكن أن يعطينا نفس النتيجة لأن هذا الأمر مستحيل.

الآن بدل استعمال الحساب البدائي سوف نستعين بالرياضيات لمعرفة السبب الحقيقي وراء هذا المشكل.

سوف نفترض بأنه يمكننا القسمة على صفر وسوف نفترض بأنه لدينا ثلاثة أعداد هم a, b, r وقيمتهم كالآتي :

• a= 5.
• b= 0.
• r: هو الذي نبحث عنه .

ستكون عملية القسمة كالتالي : (1) r=a/b وبتعويض القيم السابقة نجد بأن r=5/0 ( ملاحظة فقط هذه الكتابة محرمة في الرياضيات ههه لكننا افترضنا بأنه يمكننا القسمة على صفر للشرح فقط).

حسنا من المفترض أن تكون عبارة العدد a كالتالي : a=rxb أي أنه 5=rx0 حسنا هل يمكن أن تخمن عددا تضربه في 0 لتجد عددا قيمته 5 ؟

هذا مستحيل وعلى مايبدو أن العبارة السابقة خاطئة فأي عدد مضروب صفر سيعطينا صفرا, لامجال لمناقشة مابنية عليه الرياضيات, لكن الأمر مازال غير مفهوم ألا يمكننا ايجاد طريقة أخرى للقسمة على صفر؟

حسنا سنعود بطريقة بسيطة الى مشكل التفاحات السابق قلنا بأن تقسيم 10 تفاحات على شخص واحد سيعطينا عشر تفاحات, ماذا إن قسمنا هذه العشر تفاحات على 0.5 و 0.2 و 0.01 و 0.00001 على ماذا سنحصل ؟

حسنا بشكل رياضي سنجيب كالآتي :

• بالنسبة الى تقسيم 10 تفاحات على 0.5 سنحصل على : 20 تفاحة
• بالنسبة الى تقسيم 10 تفاحات على 0.2 سنحصل على : 50 تفاحة
• بالنسبة الى تقسيم 10 تفاحات على 0.01 سنحصل على : 1000 تفاحة
• بالنسبة الى تقسيم 10 تفاحات على 0.00001 سنحصل على : مليون تفاحة

يبدو بأننا كلما قسمنا عددا على عدد آخر يقترب من الصفر ولن نقول صفرا فسنحصل على عدد يذهب الى اللانهاية لذلك سنعود الى المعادلة السابقة وللتذكير فالمعادلة كالتالي : r=a/b

وباستعمال ماتوصلنا له فسنقول بأن حل هذه المعادلة هو عدد يذهب إلى اللانهاية, لكن إن قلنا هذا هل يعني بأننا يمكننا القسمة على صفر؟ هل وجدنا حلا ؟

إن الإجابة على هذا السؤال يستلزم فهما واضحا للحل الذي وجدناه يجب أن نفهم ماهي اللانهاية هذه, هل هي عدد وإن كانت كذلك فهل هي مليون او مليار او ماذا؟

اللانهاية ليست عددًا ! لم لا؟ لأننا إذا عاملناها كعدد سوف نواجه تناقضات. بإمكاننا أن نسأل على سبيل المثال عما نحصل عند إضافة رقم إلى اللانهاية. ومن المعروف أن اللانهاية زائد أي رقم تبقى مساوية لللانهاية, الأمر مشابه لحالات الضرب والقسمة والطرح, إن اعتبرنا بأن قسمة عدد على صفر هو عدد فسيعني هذا بأننا نقول بأن اللانهاية عدد كذلك, مما يعني أن 1 يساوي 2 ويساوي ثلاثة. سيعني هذا كذلك أن كل الأعداد الصحيحة متساوية، وبالتالي ينهار نظام الأعداد كله.

حسنا يمكننا الآن الإجابة على سؤالنا الآن بشكل علمي وواضح.

إن السبب الحقيقي وراء عدم قدرتنا على القسمة على صفر هو أن نتيجة القسمة على صفر غير معرفة وأن أي محاولة لتعريفها تؤدي إلى التناقض فمثلا حساب معادلة r=a/b وكانت قيمة a غير معدومة وكانت قيمة b هي صفرا فسنجد تناقضا في ايجاد عدد مضروب في صفر ويساوي a, وفي المقابل القول بان حل المعادلة هو عدد يؤول الى اللانهاية سيكون تقريبا او مانقول عليه حساب للنهاية وليس قيمة مضبوطة للقسمة على صفر ولهذا قلنا بأن نتيجة القسمة على صفر هي نتيجة غير معروفة وستلاحظ في الدوال بأننا نضع مجالا تعريفيا للدالة ونقول بأن الدالة غير معرفة لما يكون مقامها مساويا للصفر ونتجه لحساب النهايات لاننا حقيقة لانملك حلا مضبوطا لقسمة عدد على صفر.

حالة خاصة ماذا عن 0/0 ؟

الآن تواجهنا قضية خاصة في موضوعنا هذا, هل تتذكر معادلتنا السابقة : r=a/b

اذا كان b مساويا للصفر وكان a ايضا صفرا فسنحصل على : r=0/0 , هل يمكن أن تخمن قيمة r ؟ لاتقل لي بأنه صفر هههه لاتجعل شرحي يذهب هباءا منثورا.

مرة أخرى، تواجهنا تناقضات إذا حاولنا أن نعتبر 0/0 عددًا.
دعونا ندعو نتيجة 0/0 بالحرف S : إذا كان من المنطقي أن تحقق S ما يلي:

Sx0=0 (2)

مهما كان العدد S فإنه يحل المعادلة. ولكن هذا يعني أن نتيجة 0/0 يمكن أن تكون أي شيء. بإمكانها أن تكون 1 أو 2، ومرة أخرى لدينا تناقض بما أن 1 لا يساوي 2.
ولكن ربما يوجد عدد S يحقق المعادلة (2) ويكون مميزا بطريقة أو بأخرى، ونحن لم نتعرف عليه وحسب؟ إليكم منهجًا أكثر دهاءً: القسمة عملية مستمرة. لنفترض أن b و c مخالفان للصفر. ثم، بمعنى يمكن جعله دقيقًا، نسب a/b و a/c ستكون أقرب من بعضها كلما كانت b و c أقرب من بعضها. وينطبق نفس التصريح على بسط الكسر (إلا أنه قد يكون صفرا)

لذلك نفترض الآن أنه لـ0/0 قيمة عددية ذات معنى (كائنة ما تكون، نحن لا نعرفها بعد)، ولنننظر في الحالة التي يصير فيها كل من a و b في الكسر a/b أصغر فأصغر. وبالتالي ينبغي أن تصير قيمة الكسر أقرب فأقرب إلى القيمة غير المعروفة لـ0/0.
هناك العديد من الطرق التي تمكننا من أن نختار a و b ونسمح لها بأن تصير أصغر قيمة. على سبيل المثال، لنفترض أن a=b طوال العملية. على سبيل المثال، يمكننا أن نختار:

a=b = 1, 1/2, 1/3, 1/4, ….

وبما أن a=b فإن الكسر سيكون مساويًا لـ1 كل مرة! هذا يشير إلى أن 0/0 يجب أن تساوي 1. ولكن بإمكاننا كذلك إختيار:

b = 1, 1/2, 1/3, 1/4, ….

وجعل a مساوية لضعف b. هنا تكون النسبة دائما 2! وبالتالي فإن 0/0 يجب أن تساوي 2. ولكننا قلنا للتو أنها تساوي 1! في الواقع، عندما نجعل a مساوية لـr أضعاف b يصير بإمكاننا الحصول على أية نسبة r نريدها! وهنا نصطدم مجددًا بالتناقضات، مما يجبرنا على إعتبار 0/0 غير معرفة!

حسنا من أجل حل المشاكل التي قمنا بطرحها هنا ولاننا لانملك قيما او بشكل دقيق لايمكننا اعتبار القسمة على 0 عددا نقوم بحساب النهايات من أجل ايجاد قيمة تقريبية بجوار عدد ما.

أتمنى أن يكون الشرح واضحا, أتمنى لكم أوقات طيبة.

المراجع :

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.divideby0.html
https://www.aliens-sci.com/why-cant-we-divide-by-zero/